填空题
5.设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足A4－3A3＋3A2－2A＝0，则矩阵A的n个特征值是_______．
- 1、
【正确答案】
1、2(r重)，0(n－r重)．
【答案解析】设A是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα＝Aλ，α≠0．那么，Anα＝λnα．于是有
(A4－3A3＋3A2－2A)α＝(λ4－3λ3＋3λ2－2λ)α＝0．
从而λ4－3λ3＋3λ2－2λ＝0，即λ(λ－2)(λ2－λ＋1)＝0．
因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故
(A4－3A3＋3A2－2A)α＝(λ4－3λ3＋3λ2－2λ)α＝0．
从而λ4－3λ3＋3λ2－2λ＝0，即λ(λ－2)(λ2－λ＋1)＝0．
因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故