问答题
设齐次线性方程组
【正确答案】
【答案解析】[证] 由题设条件：β
1
，β
2
线性无关，r(α
1
，α
2
)=2，α
1
，α
2
线性无关，且β
1
，β
2
是方程组的解，满足
方法一 用线性无关定义证．
设有数k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 β 1 +k 4 β 2 =0， ②
两边左乘
且利用①式得
③的系数矩阵为
由r(A)=r(A T A)及α 1 ，α 2 线性无关知，
方程组③只有零解，从而得k 1 -k 2 =0．
将k 1 ，k 2 代入②式，因β 1 ，β 2 线性无关，得k 3 =k 4 =0，从而得证α 1 ，α 2 ，β 1 ，β 2 线性无关．
方法二
方法一 用线性无关定义证．
设有数k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 β 1 +k 4 β 2 =0， ②
两边左乘
且利用①式得
③的系数矩阵为
由r(A)=r(A T A)及α 1 ，α 2 线性无关知，
方程组③只有零解，从而得k 1 -k 2 =0．
将k 1 ，k 2 代入②式，因β 1 ，β 2 线性无关，得k 3 =k 4 =0，从而得证α 1 ，α 2 ，β 1 ，β 2 线性无关．
方法二