解答题
设 A 为 2 阶矩阵， P=（α, Aα) ，其中α是非零向量且不是 A 的特征向量.
问答题
证明 P 为可逆矩阵.
【正确答案】
α≠0且Aα≠λα.
故α与Aα线性无关.
则 r(α, Aα) =2
则 P 可逆.
【答案解析】
问答题
若A2α+Aα -6α=0 ，求P-1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
【正确答案】
由A2α+Aα-6α=0
设(A2+A-6E)α=0,(A+3E)(A-2E)α=0
由α≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解
故| (A+3E)(A-2E) |=0
得| A+3E |=0或| A-2E |=0
若| (A+3E) |≠0则有(A-2E)α= 0, 故Aα=2α, 与题意矛盾
故| A+3E |=0,同理可得| A-2E |=0|
于是 A 的特征值为λ1=-3 λ2=2.
A 有 2 个不同特征值，故 A 可相似对角化.
【答案解析】