填空题
y"+4y=cos2x的通解为y= 1．
【正确答案】
【答案解析】
，C
1
，C
2
均为任意常数
[解析] y"+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是λ
2
+4=0．它的两个特征根为λ
1,2
=±2i．
因此对应的齐次方程的通解为Y=C 1 cos2x+C 2 sin2x．
令cos2x=e λx cosωx可得λ=0，ω=2，
由于λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以可设非齐次方程的特解为
y * =x(Acos2x+Bsin2x)，
因为(y * )"=x(-2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
(y * )"=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x．
将以上两式代入方程y"+4y=cos2x可得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
比较上式系数得A=0，
．
故原方程的通解为
，C
1
，C
2
均为任意常数
[解析] y"+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是λ
2
+4=0．它的两个特征根为λ
1,2
=±2i．
因此对应的齐次方程的通解为Y=C 1 cos2x+C 2 sin2x．
令cos2x=e λx cosωx可得λ=0，ω=2，
由于λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以可设非齐次方程的特解为
y * =x(Acos2x+Bsin2x)，
因为(y * )"=x(-2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
(y * )"=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x．
将以上两式代入方程y"+4y=cos2x可得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
比较上式系数得A=0，
．
故原方程的通解为