问答题
设控制系统如下图所示，其中G
c
(s)是为了改善性能而加入的校正装置。若G
c
(s)可从K
t
s，K
a
s
2
和K
a
s
2
/(s+20)三种传递函数中任选一种，你选择哪一种?为什么?
【正确答案】
【答案解析】本题考查的是参数根轨迹的绘制，并通过根轨迹研究系统的性能，通过不同性能之间的比较，得出优势校正方法。
由系统的结构图可知，系统的开环传递函数为：
则系统的闭环特征方程为：
D(s)=(s+20)(s 2 +10s+10G c (s))+1000
=s 3 +30s 2 +200s+1000+10G c (s)(s+20)=0
系统的等效开环传递函数为：
(1)当G c (s)=K t s时
绘制根轨迹如图所示：
其会合点方程为
d4+40d 3 +400d 2 -2000d-20041.5=0
利用试探法可求得
d=-6.3
在会合点处，用模值条件可以求出
K t =0.79
在这种情况下，可以在0＜K t ＜0.79的范围内，通过改变K t 的值使系统的主导极点具有ζ=0.707的最佳阻尼比。
(2)当G c (s)=K a s 2 时，有
绘制根轨迹如图所示：
这种情况下，由于K a 的值越大，系统闭环极点越靠近虚轴，从而使稳定性越差，所以不能通过改变K a 的值来使得系统的性能达到最佳。
(3)当
时，有
绘制根轨迹如图所示：
这种情况下，也不能通过改变K a 的值来使系统的性能达到最佳。通过以上分析，最终选择第一种情况，即G c (s)=K t s。
由系统的结构图可知，系统的开环传递函数为：
则系统的闭环特征方程为：
D(s)=(s+20)(s 2 +10s+10G c (s))+1000
=s 3 +30s 2 +200s+1000+10G c (s)(s+20)=0
系统的等效开环传递函数为：
(1)当G c (s)=K t s时
绘制根轨迹如图所示：
其会合点方程为
d4+40d 3 +400d 2 -2000d-20041.5=0
利用试探法可求得
d=-6.3
在会合点处，用模值条件可以求出
K t =0.79
在这种情况下，可以在0＜K t ＜0.79的范围内，通过改变K t 的值使系统的主导极点具有ζ=0.707的最佳阻尼比。
(2)当G c (s)=K a s 2 时，有
绘制根轨迹如图所示：
这种情况下，由于K a 的值越大，系统闭环极点越靠近虚轴，从而使稳定性越差，所以不能通过改变K a 的值来使得系统的性能达到最佳。
(3)当
时，有
绘制根轨迹如图所示：
这种情况下，也不能通过改变K a 的值来使系统的性能达到最佳。通过以上分析，最终选择第一种情况，即G c (s)=K t s。