解答题
15.已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2．
(1)求a．
(2)求作正交变换X＝QY，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形．
(3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的解．
(1)求a．
(2)求作正交变换X＝QY，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形．
(3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的解．
【正确答案】(1)此二次型的矩阵为A＝
则r(A)＝2，｜A｜＝0．求得｜A｜＝－8a，得a＝0．
A＝
(2)｜λE－A｜＝
＝λ(λ－2)2，
得A的特征值为2，2，0．
对特征值2求两个正交的单位特征向量：
A－2E＝
得(A－2E)X＝0的同解方程组χ1－χ2＝0，求出基础解系η1＝(0，0，1)T，η3＝(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1＝η1，α2＝
求0的一个单位特征向量：A＝
得AX＝0的同解方程组
得一个解η1＝(1，－1，0)T，单位化得α3＝
作正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)，则QTAQ＝
作正交变换X＝QY，则f化为Y的二次型f＝2y12＋2y22．
(3)f(X)＝χ12＋χ22＋2χ32＋2χ1χ2＝(χ1＋χ2)2＋2χ32．
于是f(χ1，χ2，χ3)＝0
求得通解为：c
则r(A)＝2，｜A｜＝0．求得｜A｜＝－8a，得a＝0．
A＝
(2)｜λE－A｜＝
＝λ(λ－2)2，得A的特征值为2，2，0．
对特征值2求两个正交的单位特征向量：
A－2E＝
得(A－2E)X＝0的同解方程组χ1－χ2＝0，求出基础解系η1＝(0，0，1)T，η3＝(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1＝η1，α2＝
求0的一个单位特征向量：A＝
得AX＝0的同解方程组
得一个解η1＝(1，－1，0)T，单位化得α3＝
作正交矩阵Q＝(α1，α2，α3)，则QTAQ＝
作正交变换X＝QY，则f化为Y的二次型f＝2y12＋2y22．
(3)f(X)＝χ12＋χ22＋2χ32＋2χ1χ2＝(χ1＋χ2)2＋2χ32．
于是f(χ1，χ2，χ3)＝0
求得通解为：c
【答案解析】