解答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)= f(b)=g(a) —g(b)=0．
问答题
17.g(x)≠0．任意x∈(a，b)；
【正确答案】反证法．
若不然，则在(a，b)内至少存在一点c，使g(c)=0，于是由已知条件知，g(x)在[a，c]与[c，b]上满足罗尔定理条件．分别应用罗尔定理，得ε1∈(a，c)，ε2∈(c，b)，使
g’(ε1)=0，g’(ε2)=0，
于是g’(x)在[ε1，ε2]上满足罗尔定理条件，进一步应用罗尔定理，存在η∈(ε1，ε2)?(a，b)，使
g’’(η)=0，这与条件g’’ (x)≠0，x∈(a，b)矛盾．
故g(x)≠0，x∈(a，b)．
若不然，则在(a，b)内至少存在一点c，使g(c)=0，于是由已知条件知，g(x)在[a，c]与[c，b]上满足罗尔定理条件．分别应用罗尔定理，得ε1∈(a，c)，ε2∈(c，b)，使
g’(ε1)=0，g’(ε2)=0，
于是g’(x)在[ε1，ε2]上满足罗尔定理条件，进一步应用罗尔定理，存在η∈(ε1，ε2)?(a，b)，使
g’’(η)=0，这与条件g’’ (x)≠0，x∈(a，b)矛盾．
故g(x)≠0，x∈(a，b)．
【答案解析】
问答题
18.存在
【正确答案】令F(x)= f (x) g’(x) —f’ (x) g (x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，满足罗尔定理条件．对F(x)应用罗尔定理，于是存在ε∈(a，b)，使F’(ε)=0，即
由于g(ε)≠0，g’’ (ε)≠0，所以
由于g(ε)≠0，g’’ (ε)≠0，所以
【答案解析】【思路探索】第一题可采用反证法；第二题构造辅助函数F(x) —f (x)g’(x) —∫’(x)g(x)，应用罗尔定理即可得证．