解答题
设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：(1)A2；(2)矩阵A的特征值和特征向量．
【正确答案】
【答案解析】(1)由A=αβT和αTβ=0，有
A2=AA=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)T(αβT)=0，
即A2=0．
(2)设λ为A的任一特征值，A的属于特征值λ的特征向量为x(≠0)，则
因为A2=0，所以λ2X=0，又x≠0，故λ2=0，λ=0，即矩阵A的特征值全为零，
不妨设向量α，β中分量a1≠0，b1≠0，对齐次线性方程组(0E-A)x=0的系数矩阵施行初等行变换
由此得该方程组的基础解系为
A2=AA=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)T(αβT)=0，
即A2=0．
(2)设λ为A的任一特征值，A的属于特征值λ的特征向量为x(≠0)，则
因为A2=0，所以λ2X=0，又x≠0，故λ2=0，λ=0，即矩阵A的特征值全为零，
不妨设向量α，β中分量a1≠0，b1≠0，对齐次线性方程组(0E-A)x=0的系数矩阵施行初等行变换
由此得该方程组的基础解系为