设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f
u
"(u，v)+f
v
"(u，v)=uv。求y(x)=e
-2x
f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
【正确答案】正确答案：由y(x)=e
一2x
f(x，x)，两边对x求导有， y"=一2e
一2x
f(x，x)+e
一2x
f
1
"(x，x)+e
一2x
y
2
"(x，x) =一2e
一2x
f(x，x)+e
一2x
[f
1
"(x，x)+f
2
"(x，x)] =一2y+e
一2x
[f
1
"(x，x)+f
2
"(x，x)]。 已知f
u
"(u，v)+f
v
"(u，v)=uv，即f
1
"(u，v)+f
2
"(u，v)=uv，则f
1
"(u，v)+f
2
"(x，x)=x
2
。 因此，y(x)满足一阶微分方程y"+2y=x
2
e
-2x
。由一阶线性微分方程的通解公式得
【答案解析】