问答题
设向量α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0，记n阶矩阵A=αβ
T
，求：
(1)A
2
：
(2)A的特征值和特征向量；
(3)A能否相似于对角矩阵，说明理由．
【正确答案】正确答案：(1)由A=αβ
T
和α
T
β=0，有 A
2
=AA=(αβ
T
)(αβ
T
)=α(β
T
α)β
T
=(β
T
α)αβ
T
=(α
T
β)αβ
T
=O，即A是幂零矩阵(A
2
=O)． (2)利用(1)A
2
=O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=λξ． 两端左边乘A，得 A
2
ξ=λAξ=λ
2
ξ． 因A
2
=O，所以λ
2
ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0． 故由上易知方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a
1
≠0，b
1
≠0，有
则A的对应于特征值0的特征向量为
则A的对应于特征值0的特征向量为
【答案解析】