解答题
6.设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
【正确答案】二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为
由题设知Q－1AQ=QTAQ
A的一个特征值为零，所以有
故得a=2．由A的特征方程
=(λ－6)(λ+3)λ=0
得A的全部特征值，不妨设λ1=6，λ2=－3，λ3=0，
对于λ1=6，解方程组(6I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ1=
(1，0，－1)T；
对于λ2=－3，解方程组(－3I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ2=
(1，－1，1)T；
对于λ3=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ3=
(1，2，1)T．
因此，所求的正交矩阵可取为
Q=(ξ1，ξ2，ξ3)
由题设知Q－1AQ=QTAQ
A的一个特征值为零，所以有
故得a=2．由A的特征方程
=(λ－6)(λ+3)λ=0
得A的全部特征值，不妨设λ1=6，λ2=－3，λ3=0，
对于λ1=6，解方程组(6I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ1=
(1，0，－1)T；对于λ2=－3，解方程组(－3I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ2=
(1，－1，1)T；对于λ3=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ3=
(1，2，1)T．因此，所求的正交矩阵可取为
Q=(ξ1，ξ2，ξ3)
【答案解析】