解答题
13.设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，
证明：β，Aβ，A2β线性无关．
证明：β，Aβ，A2β线性无关．
【正确答案】因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则
Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3
=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)
=λ21α1+λ22α2+λ23α3．
设存在常数K1，K2，K3，使
K1β+K2Aβ+K3A2β=0，
进而得
(k1+k2λ1+k3λ21)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ23)α3=0．
由于α1，α2，α3线性无关，于是有
其系数行列式
Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3
=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)
=λ21α1+λ22α2+λ23α3．
设存在常数K1，K2，K3，使
K1β+K2Aβ+K3A2β=0，
进而得
(k1+k2λ1+k3λ21)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ23)α3=0．
由于α1，α2，α3线性无关，于是有
其系数行列式
【答案解析】本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．