解答题
设二次型
问答题
22.计算α的值；
【正确答案】二次型的矩阵为
，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知R(A)＝2，
，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知R(A)＝2，【答案解析】
问答题
23.用正交变换将二次型化为标准形；
【正确答案】此时｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)，所以A的特征值是3，－3，0．
当λ1＝3时，解方程组(3E－A)x＝0，得基础解系为α1＝(1，0，1)T；
当λ2＝－3时，解方程组(一3E－A)x＝0，得基础解系为α2(1，－2，－1)T；
当λ3＝0时，解方程组(0E－A)x＝0，得基础解系为α3＝(1，1，－1)T．
将α1，α2，α3单位化，得
故有正交阵Q＝
，使QTAQ＝
因此所求的正交变换为
所求的标准形为
当λ1＝3时，解方程组(3E－A)x＝0，得基础解系为α1＝(1，0，1)T；
当λ2＝－3时，解方程组(一3E－A)x＝0，得基础解系为α2(1，－2，－1)T；
当λ3＝0时，解方程组(0E－A)x＝0，得基础解系为α3＝(1，1，－1)T．
将α1，α2，α3单位化，得
故有正交阵Q＝
，使QTAQ＝因此所求的正交变换为
所求的标准形为
【答案解析】
问答题
24.当x满足xTx＝2时，求f的最大值与最小值．
【正确答案】由于x＝Qy，可知
因此限制条件xTx＝2也等价于
由于二次型为
，易知其在
因此限制条件xTx＝2也等价于
由于二次型为
，易知其在【答案解析】【思路探索】先根据惯性指数求得a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得f的最值．