设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y
'
(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
一S
2
恒为1，求曲线y=y(x)的方程。
【正确答案】正确答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为 Y—y=y
'
(X—x)， 它与x轴的交点为(x一
，0)。 由于y
'
(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是 S
1
=
。 又可得 s
2
=∫
0
x
y(t)dt。 根据题设2S
1
一S
2
=1，有
一∫
0
x
y(t)dt=1。 并且y
'
(0)=1，两边对x求导并化简得 yy
''
=(y
'
)
2
， 这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y
'
，则上述方程可化
=p
2
， 分离变量得
，0)。 由于y
'
(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是 S
1
=
。 又可得 s
2
=∫
0
x
y(t)dt。 根据题设2S
1
一S
2
=1，有
一∫
0
x
y(t)dt=1。 并且y
'
(0)=1，两边对x求导并化简得 yy
''
=(y
'
)
2
， 这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y
'
，则上述方程可化
=p
2
， 分离变量得
【答案解析】