单选题
α
1
，α
2
，α
3
是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α
1
=(1，2，3，4)
T
，α
2
+α
3
=(0，1，2，3)
T
．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
【正确答案】
C
【答案解析】[考点] 非齐次线性方程组解的结构．
[解析] 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．
解：根据线性方程组解的性质，可知
2α 1 -(α 2 +α 3 )=(α 1 -α 2 )+(α 1 -α 3 )
是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α 1 -(α 2 +α 3 )=(2，3，4，5) T ≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为
α 1 +c(2α 1 -α 2 -α 3 )=(1，2，3，4) T +c(2，3，4，5) T ，
即C正确．
对于其他几个选项，A项中
(1，1，1，1) T =α 1 -(α 2 +α 3 )，
B项中
(0，1，2，3) T =α 2 +α 3 ，
D项中
(3，4，5，6) T =3α 1 -2(α 2 +α 3 )，
都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D均不正确．
故应选C．
[解析] 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．
解：根据线性方程组解的性质，可知
2α 1 -(α 2 +α 3 )=(α 1 -α 2 )+(α 1 -α 3 )
是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α 1 -(α 2 +α 3 )=(2，3，4，5) T ≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为
α 1 +c(2α 1 -α 2 -α 3 )=(1，2，3，4) T +c(2，3，4，5) T ，
即C正确．
对于其他几个选项，A项中
(1，1，1，1) T =α 1 -(α 2 +α 3 )，
B项中
(0，1，2，3) T =α 2 +α 3 ，
D项中
(3，4，5，6) T =3α 1 -2(α 2 +α 3 )，
都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D均不正确．
故应选C．