问答题
已知齐次线性方程组
【正确答案】
【答案解析】[解法一] 设方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵分别是A和B，
a，b，c恒有r(A)=r(B)=2．
取x 2 ，x 4 为自由变量，得到(Ⅰ)的基础解系
η 1 =(-1，1-4，0) T ，η 2 =(-a，0，-3a，1) T ．
因为(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故η 1 ，η 2 是(Ⅱ)的基础解系．代入(Ⅱ)有
方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的通解均为k 1 (-1，1，-4，0) T +k 2 (2，0，6，1) T ，其中k 1 ，k 2 为任意常数．
[解法二] (Ⅰ)的系数矩阵
，(Ⅱ)的系数矩阵
．(Ⅰ)与(Ⅱ)同解
r(A)=r(B)=
．本题中r(A)，r(B)显然都为2．因此同解
．
a，b，c恒有r(A)=r(B)=2．
取x 2 ，x 4 为自由变量，得到(Ⅰ)的基础解系
η 1 =(-1，1-4，0) T ，η 2 =(-a，0，-3a，1) T ．
因为(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故η 1 ，η 2 是(Ⅱ)的基础解系．代入(Ⅱ)有
方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的通解均为k 1 (-1，1，-4，0) T +k 2 (2，0，6，1) T ，其中k 1 ，k 2 为任意常数．
[解法二] (Ⅰ)的系数矩阵
，(Ⅱ)的系数矩阵
．(Ⅰ)与(Ⅱ)同解
r(A)=r(B)=
．本题中r(A)，r(B)显然都为2．因此同解
．