问答题
已知随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)条件下随机变量Y在区间(0，x)上服从均匀分布．
1.求(X，Y)的概率密度f(x，y)，并问X与Y是否独立；
1.求(X，Y)的概率密度f(x，y)，并问X与Y是否独立；
【正确答案】已知边缘分布及条件分布可以求联合密度，再由独立的充要条件判断X与Y的独立性．
由题设知X的概率密度
Y的条件概率密度fY|X(y|x)=
(0＜x＜1)，由乘法公式可求得(X，Y)的概率密度
由此可得Y的概率密度为
由题设知X的概率密度
Y的条件概率密度fY|X(y|x)=(0＜x＜1)，由乘法公式可求得(X，Y)的概率密度由此可得Y的概率密度为
【答案解析】
【正确答案】直接应用公式计算：
【答案解析】
【正确答案】已知(X，Y)～f(x，y)，求Z=X-Y的概率密度fZ(x)通常有两种方法：
方法1° 分布函数法．Z=X-Y的分布函数
由f(x，y)的非零定义域知，当z≤0时FZ(z)=0；
当z≥1时FZ(z)=1；
当0＜z＜1时，
综上得
方法2° 公式法．已知(X，Y)～f(x，y)，则Z=X-Y的概率密度
其中
所以当0＜z＜1时，
，否则fZ(z)=0，即
的独立性．
由题设知X的概率密度Y的条件概率密度fY|X(y|x)=(0＜x＜1)，由乘法公式可求得(X，Y)的概率密度
由此可得Y的概率密度为
由于fX(x)fY(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独立．
(Ⅱ)直接应用公式计算：
(Ⅲ)已知(X，Y)～f(x，y)，求Z=X-Y的概率密度fZ(x)通常有两种方法：
方法1° 分布函数法．Z=X-Y的分布函数
由f(x，y)的非零定义域知，当z≤0时FZ(z)=0；
当z≥1时FZ(z)=1；
当0＜z＜1时，
综上得
方法2° 公式法．已知(X，Y)～f(x，y)，则Z=X-Y的概率密度
其中
所以当0＜z＜1时，，否则fZ(z)=0，即
方法1° 分布函数法．Z=X-Y的分布函数
由f(x，y)的非零定义域知，当z≤0时FZ(z)=0；
当z≥1时FZ(z)=1；
当0＜z＜1时，
综上得
方法2° 公式法．已知(X，Y)～f(x，y)，则Z=X-Y的概率密度
其中
所以当0＜z＜1时，
，否则fZ(z)=0，即的独立性．由题设知X的概率密度
Y的条件概率密度fY|X(y|x)=(0＜x＜1)，由乘法公式可求得(X，Y)的概率密度由此可得Y的概率密度为
由于fX(x)fY(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独立．(Ⅱ)直接应用公式计算：
(Ⅲ)已知(X，Y)～f(x，y)，求Z=X-Y的概率密度fZ(x)通常有两种方法：
方法1° 分布函数法．Z=X-Y的分布函数
由f(x，y)的非零定义域知，当z≤0时FZ(z)=0；
当z≥1时FZ(z)=1；
当0＜z＜1时，
综上得
方法2° 公式法．已知(X，Y)～f(x，y)，则Z=X-Y的概率密度
其中
所以当0＜z＜1时，
，否则fZ(z)=0，即【答案解析】