【正确答案】(Ⅰ)由[*]得
[*]
所以，矩阵A有特征值λ=-1，1．由r(A)=2知A还有特征值λ=0. 显然对应λ=-1，1分别有特征向量α₁=(1，0，-1)^T和α₂=(1，0，1)^T．设对应λ=0的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则α₃与α₁，α₂都正交，故有
[*]即[*]
所以可取α₃=(0，1，0)^T．显然α₁，α₂，α₃是正交向量组，现将它们单位化得
[*]
记Q=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)(正交矩阵)，则[*]于是
[*]
从而按伴随矩阵的定义得[*]
(Ⅱ)显然|Q|=-1，所以Q^*=|Q|Q^-1=-Q^T，因此
Q^TA^*A=-Q^*A^*(-Q^T)^*=(Q^TAQ)⁺.
于是Q^T(A^*+A)Q=Q^TA^*Q+Q^TAQ
=(Q^TAQ)^*+Q^TAQ
[*]
[*] (1)
由此可知，取C=Q，则在正交变换x=Cy=Qy下，二次型f(x₁，x₂，x₃)化为标准形[*]

【答案解析】题解中有两点值得注意：
(Ⅰ)由于|A|=0，所以不能由A的特征值与A^*的特征值的关系计算A^*的特征值，
从而要算出A^*，必须按伴随矩阵的定义计算．
(Ⅱ)利用式(1)的推演知，实对称矩阵A^*+A可利用Q相似对角化，由此得到C和f(x₁，x₂，x₃)的标准形，计算比较快捷．当然C也可由[*]直接计算得到．