问答题
设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有
(A) (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
(B) (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
(C) (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
(D) (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
(A) (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
(B) (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
(C) (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
(D) (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
【正确答案】
A
【答案解析】[解析] 若η是(Ⅰ)的解，则Aη=0，那么(ATA)η=AT(Aη)=AT0=0，即η是(Ⅱ)的解．
若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘得αTATAα=0，即(Aα)T(Aα)=0．
亦即Aα自己的内积(Aα，Aα)=0，故必有Aα=0，即α是(Ⅰ)的解．
所以(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故应选(A)．
若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘得αTATAα=0，即(Aα)T(Aα)=0．
亦即Aα自己的内积(Aα，Aα)=0，故必有Aα=0，即α是(Ⅰ)的解．
所以(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，故应选(A)．