【正确答案】 A

【答案解析】因为在(1-δ，1+δ)内f'(x)严格单调递减，且f'(1)=1，所以在(1-δ，1)内，f'(x)＞1；在(1，1+δ)内，f'(x)＜1。作辅助函数F(x)=f(x)-x，则F'(x)=f'(x)-1。在(1-δ，1)内，F'(0)＞0，函数F(x)严格单调递增；在(1，1+δ)内，F'(x)＜0，函数F(x)严格单调递减，又F(1)=f(1)-1=0，所以在(1-δ，1)和(1，1+δ)内都有F(x)=f(x)-x＜0，即f(x)＜x。故本题选A。