问答题
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ
2
)与N(μ，2σ
2
)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y．
(Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ
2
)；
(Ⅱ)设Z
1
，Z
2
，…，Z
n
为来自总体Z的简单随机样本，求σ
2
的最大似然估计量
；
(Ⅲ)证明
；
(Ⅲ)证明
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)∵X与Y独立，可见Z＝X－Y服从正态分布，而EZ＝E(X－Y)＝EX－EY＝μ－μ＝0， DZ＝D(X－Y)＝DX＋DY＝σ
2
＋2σ
2
＝3σ
2
∴Z～N(0，3σ
2
) 故f(z；σ
2
)＝
，－∞＜z＜＋∞ (Ⅱ)似然函数为
令
＝0，得σ
2
＝
，故
(Ⅲ)由EZ＝0，DZ＝3σ
2
，∴E(Z
2
)＝DZ＋(EZ)
2
＝3σ
2
∴
故
，－∞＜z＜＋∞ (Ⅱ)似然函数为
令
＝0，得σ
2
＝
，故
(Ⅲ)由EZ＝0，DZ＝3σ
2
，∴E(Z
2
)＝DZ＋(EZ)
2
＝3σ
2
∴
故
【答案解析】