【正确答案】[证明] 由于g(x)=f(x)-2x在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质可知存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)=2ξ成立．
对此ξ，分别在区间[0，ξ]与[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，ξ∈(ξ，1)，使得
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即存在0＜η＜ζ＜1，使得
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【答案解析】[分析] 设ξ∈(0，1)，在[0，ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，ξ)，使得
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在[ξ，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知，存在ζ∈(ξ，1)，使得
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从而，存在0＜η＜ζ＜1，使得
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要使f'(η)f'(ζ)=4，只需
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令g(x)=f(x)-2x，由于g(x)在[0，1]上连续，且g(0)=2，g(1)=-2，故由有界闭区间上连续函数的性质知，存在ξ∈(0，1)，使得
[*]又 令h(x)=f(x)+2x-2，h(x)虽然在[0，1]上连续，但h(0)=h(1)=0，所以未必存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+2ξ-2=0成立．