解答题
2.设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X =0}=P{X=2}=
，Y的概率密度为
，Y的概率密度为
【正确答案】(Ⅰ)E(Y)=∫—∞+∞yf(y)dy=∫012y2dy=
，则
P{Y≤E(Y))=P{Y≤
(Ⅱ)因为X为离散型随机变量，所以由全概率公式可知，Z的分布函数
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=P{X=0}P{X+Y≤Z|X=0)+P{X一2)P{X+Y≤Z|X X=2}
=
P{Y≤z}+
P{y≤z—2}=
{FY (Z)+FY(z—2)}，
上式中FY(z)是随机变量Y的分布函数。则Z的概率密度为
fZ(z)=FZ'(z)=
{f(z)+f(z—2)}=
，则P{Y≤E(Y))=P{Y≤
(Ⅱ)因为X为离散型随机变量，所以由全概率公式可知，Z的分布函数
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=P{X=0}P{X+Y≤Z|X=0)+P{X一2)P{X+Y≤Z|X X=2}
=
P{Y≤z}+P{y≤z—2}={FY (Z)+FY(z—2)}，上式中FY(z)是随机变量Y的分布函数。则Z的概率密度为
fZ(z)=FZ'(z)=
{f(z)+f(z—2)}=【答案解析】