解答题
24.设A=
【正确答案】｜λE－A｜=
=(λ+a－1)(λ－a)(λ－a－1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1－a，λ2=a，λ3=1+a．
(1)当1－a≠a，1－a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠
时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．
λ1=1－a时，由[(1－a)E－A]X=0得ξ1=
；λ2=a时，由(aE－A)X=0得ξ2=
；λ3=1+a时，由[(1+a)E－A]X=0得ξ3=
令P=
，P－1AP=
(2)当a=0时，λ1=λ3=1，
因为r(E－A)=2，所以方程组(E－A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．
(3)当a=
时，λ1=λ2=
，
因为
=2，所以方程组
=(λ+a－1)(λ－a)(λ－a－1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1－a，λ2=a，λ3=1+a．(1)当1－a≠a，1－a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠
时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．λ1=1－a时，由[(1－a)E－A]X=0得ξ1=
；λ2=a时，由(aE－A)X=0得ξ2=；λ3=1+a时，由[(1+a)E－A]X=0得ξ3=令P=
，P－1AP=(2)当a=0时，λ1=λ3=1，
因为r(E－A)=2，所以方程组(E－A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．
(3)当a=
时，λ1=λ2=，因为
=2，所以方程组【答案解析】