问答题
设二维随机变量(X，Y)服从区域：-1≤x≤1，0≤y≤2上的均匀分布，求二次型
【正确答案】[详解] 二次型[*]的矩阵为[*]，没A的特征值为λ1，λ2，λ3，则存在正交矩阵Q，作变换X=QZ，将二次型f化为[*][*]，必须A的特征值λ1，λ2，λ3都大于零，即A为正定矩阵．
又A为正定矩阵的充要条件为A的所有顺序主子式全大于零，即Y-2X2＞0．
所以，概率为
p=P{Y-2X2＞0}．
又二维随机变量(X，Y)的概率密度为
[*]
所以[*]，其中D：2x2≤y≤2．有
[*]
又A为正定矩阵的充要条件为A的所有顺序主子式全大于零，即Y-2X2＞0．
所以，概率为
p=P{Y-2X2＞0}．
又二维随机变量(X，Y)的概率密度为
[*]
所以[*]，其中D：2x2≤y≤2．有
[*]
【答案解析】[解析] 二次型可通过正交变换化为标准形[*]，其中λ1，λ2，λ3为特征值．要使二次型[*]为正定二次型，必须λ1，λ2，λ3都大于零．所以，所求概率转化为二次型为正定的概率．
[评注] 本题综合了二次型标准化问题：二次型正定性、二维随机变量的概率问题．
[评注] 本题综合了二次型标准化问题：二次型正定性、二维随机变量的概率问题．