解答题
19.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动．求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．
【正确答案】用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，
由已知条件得X，Y的密度为fX(x)=
当t≤0时，FT(t)=0；当t＞0时，
FT(t)=P(X+Y≤t)=
=25∫0te-5xdx∫0t-xe-5ydy=5∫0te-5x[1-e-5(t-x)]dx
=5∫0t(e-5x—e-5t)dx=(1一e-5t)-5te-5t，
T的密度函数为f(t)=
由已知条件得X，Y的密度为fX(x)=
当t≤0时，FT(t)=0；当t＞0时，
FT(t)=P(X+Y≤t)=
=25∫0te-5xdx∫0t-xe-5ydy=5∫0te-5x[1-e-5(t-x)]dx
=5∫0t(e-5x—e-5t)dx=(1一e-5t)-5te-5t，
T的密度函数为f(t)=
【答案解析】