问答题
已知当|x|＜1时函数f(x)满足f"(x)+a[f"(x)]
2
=g(x)，且f"(0)=0，其中常数a＞0，函数g(x)在|x|＜1可导且g(0)=0，g"(0)＞0．试问f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0))是不是曲线y=f(x)的拐点?
【正确答案】
【答案解析】解：由题设知f"(x)=g(x)-a[f"(x)]
2
当|x|＜1时成立且f
(3)
(x)在|x|＜1存在，在上式中令x=0得f"(0)=0，将上式求导得
f (3) (x)=g"(x)-2af"(x)f"(x)
令x=0得f (3) (0)=g"(0)＞0，从而点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，又
由极限的保号性质可知，存在δ＞0，使得当0＜|x|＜δ时
f (3) (x)=g"(x)-2af"(x)f"(x)
令x=0得f (3) (0)=g"(0)＞0，从而点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，又
由极限的保号性质可知，存在δ＞0，使得当0＜|x|＜δ时