问答题
已知向量组
(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α4，α5．
如果各向量组的秩分别为秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=3， 秩(Ⅲ)=4．
证明：向量α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α4，α5．
如果各向量组的秩分别为秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=3， 秩(Ⅲ)=4．
证明：向量α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
【正确答案】利用线性无关、线性相关的定义证明．
证 因秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关．而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使
α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3．
设有数k1，k2，k3，k4，使得
k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，
将α4代入上式，化简得
(k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=0．
由秩(Ⅲ)=4知，α1，α2，α3，α5线性无关，故
证 因秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关．而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使
α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3．
设有数k1，k2，k3，k4，使得
k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，
将α4代入上式，化简得
(k1-λ1k4)α1+(k2-λ2k4)α2+(k3-λ3k4)α3+k4α5=0．
由秩(Ⅲ)=4知，α1，α2，α3，α5线性无关，故
【答案解析】