解答题
18.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫01／kxe1-xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f'(ξ)=(1-
【正确答案】令g(y)=k∫0yxe1-xf(x)dx，则g(0)=0，g(1／k)=f(1)，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，1／k)，使得
故kf(1)=kηe1-ηf(η)，即f(1)=ηe1-ηf(η)。
再令φ(x)=xe1-xf(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f(1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)
(0，1)，使得φ'(ξ)=0，即
ξe1-ξ[
f(ξ)-f(ξ)+f('ξ)]
所以f'(ξ)=(1-
故kf(1)=kηe1-ηf(η)，即f(1)=ηe1-ηf(η)。
再令φ(x)=xe1-xf(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f(1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)
(0，1)，使得φ'(ξ)=0，即ξe1-ξ[
f(ξ)-f(ξ)+f('ξ)]所以f'(ξ)=(1-
【答案解析】