问答题
设x为内积空间,x1为X的非零元且C为一纯量。求证:X中使得<x,x>最小且满足<x,x1>=c的元x由cx1/<x1,x1>给出。
【正确答案】令y=c1x1,其中
c1=c/<x1,x1>
则
<y,x1>=<c1x1,x1>=C1<x1,x1>=c
现设x为X任意元满足<x,x1>=C,则
<x-y,x1>=<x,x1>-<y,x1>=0
因此由勾股定理有
<x-y,y>=<x-y,c1x1>=0
‖x‖2=‖(x-y)+y‖2=‖x-y‖2+‖y‖2≥‖y‖2
从而任取X中元x满足<x,x1>=c均有‖y‖2≤‖x‖2
【答案解析】