问答题
设f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX是正定二次型．证明
(Ⅰ)f(x 1 ，x 2 ，…，x n )的平方项系数大于零；
(Ⅱ)|A|＞0．
举例说明上述条件(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x 1 ，x 2 ，…，x n )正定的充分条件．
(Ⅰ)f(x 1 ，x 2 ，…，x n )的平方项系数大于零；
(Ⅱ)|A|＞0．
举例说明上述条件(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x 1 ，x 2 ，…，x n )正定的充分条件．
【正确答案】
【答案解析】f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX正定，对任意的X≠0，均有X
T
AX＞0，取X=ξ
1
=(1，0，…，0)
T
，则
同理，取X=ξ
i
=(0，…，0，1，0…，0)
T
，则
=a
ii
＞0，i=1，2，…，n．
(Ⅱ)f(x 1 ，x 2 ，…，x n )=X T AX正定
存在可逆阵C，使得C
T
AC=E，A=(C
T
)
-1
C
-1
，|A|=|(C
T
)
-1
C
-1
|=|(C
-1
)
2
|=|(C
T
)
2
|＞0．或用反证法：若|A|≤0，有|A|=λ
1
λ
2
…λ
n
≤0，则存在λ≤0，Aα=λα，α
T
Aα=λα
T
α，α
T
α＞0且λ≤0，故α
T
Aα≤0，f非正定．
下面举例说明(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x 1 ，x 2 ，…，x n )正定的充分条件：
当a ii ＞0，i=1，2，…，n，f可以不正定．如
a
11
=a
22
＞0，但f(1，-1)=0，f非正定．
当|A|＞0，f可以不正定．如
|A|=1＞0，但
同理，取X=ξ
i
=(0，…，0，1，0…，0)
T
，则
=a
ii
＞0，i=1，2，…，n．
(Ⅱ)f(x 1 ，x 2 ，…，x n )=X T AX正定
存在可逆阵C，使得C
T
AC=E，A=(C
T
)
-1
C
-1
，|A|=|(C
T
)
-1
C
-1
|=|(C
-1
)
2
|=|(C
T
)
2
|＞0．或用反证法：若|A|≤0，有|A|=λ
1
λ
2
…λ
n
≤0，则存在λ≤0，Aα=λα，α
T
Aα=λα
T
α，α
T
α＞0且λ≤0，故α
T
Aα≤0，f非正定．
下面举例说明(Ⅰ)、(Ⅱ)均不是f(x 1 ，x 2 ，…，x n )正定的充分条件：
当a ii ＞0，i=1，2，…，n，f可以不正定．如
a
11
=a
22
＞0，但f(1，-1)=0，f非正定．
当|A|＞0，f可以不正定．如
|A|=1＞0，但