问答题
已知α
1
=[1，0，2，3]
T
，α
2
=[1，1，3，5]
T
，α
3
=[1，-1，a+2，1]
T
，α
4
=[1，2，4，a+8]
T
，及β=[1，1，b+3，5]
T
．
(1)a，b为何值时，β不能表示成α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的线性组合；
(2)a，b为何值时，β有α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的唯一线性表示式，并写出该表示式．
(1)a，b为何值时，β不能表示成α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的线性组合；
(2)a，b为何值时，β有α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的唯一线性表示式，并写出该表示式．
【正确答案】
【答案解析】设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β，即
对增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵
令(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=A，由阶梯形矩阵可知：
(1)当a=-1，b≠0时，
，方程组无解，β不能表示成α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的线性组合；
(2)当a≠-1时，无论b为何值，r(A)=4(等于未知量个数)，方程组有唯一解，即β有α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的唯一线性表示式，且可解得
对增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵
令(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=A，由阶梯形矩阵可知：
(1)当a=-1，b≠0时，
，方程组无解，β不能表示成α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的线性组合；
(2)当a≠-1时，无论b为何值，r(A)=4(等于未知量个数)，方程组有唯一解，即β有α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 的唯一线性表示式，且可解得