解答题 [2002年] 设A，B为同阶矩阵．
问答题 13.如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；
【正确答案】由于A，B相似，则存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，其特征多项式
｜λE一B｜=｜λE一P-1AP｜=｜P-1λEP—P-1AP｜=｜P-1(λE一A)P｜=｜P-1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜，
即A与B有相同的特征多项式．
【答案解析】
问答题 14.举一个二阶方阵的例子说明第一题的逆命题不成立；
【正确答案】令，则A，B有相同的特征多项式｜λE—A ｜=｜λE—E｜=λ2，但这里的A，B不相似．事实上，若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得
【答案解析】
问答题 15.当A，B均为实对称矩阵时，试证第一题的逆命题成立．
【正确答案】若A，B皆为实对称矩阵，且A，B有相同的特征多项式，则A与B相似．事实上，因A与B有相同的特征值，记其特征值为λi(i=1，2，…，n)，又因实对称矩阵必可对角化，所以存在可逆矩阵P与Q，使得
P-1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)， Q-1BQ=diag(λ1，λ2，…，λn)．
则P-1AP=Q-1BQ．令S=PQ-1，则矩阵S可逆，使得S-1AS=B，故A与B相似．
【答案解析】