求下列方程的通解：(Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；(Ⅱ)xy′=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)属变量可分离的方程，分离变量改写为
=(sinlnx+coslnx+a)dx． 两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－∫cos(lnx).
dx=xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx， 所以通解为ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+lnC，或y=Ce
xsin(lnx)+ax
，其中C为任意常数． (Ⅱ)属齐次方程．令y=xu，并且当x＞0时，原方程可化为 xu′+u=
． 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin
=lnx+C，其中C为任意常数． 当x＜0时，上述方程变为
，其通解应为arcsin
=(sinlnx+coslnx+a)dx． 两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－∫cos(lnx).
dx=xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx， 所以通解为ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+lnC，或y=Ce
xsin(lnx)+ax
，其中C为任意常数． (Ⅱ)属齐次方程．令y=xu，并且当x＞0时，原方程可化为 xu′+u=
． 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin
=lnx+C，其中C为任意常数． 当x＜0时，上述方程变为
，其通解应为arcsin
【答案解析】