问答题
(I)设f(x)在(0，+∞)可导，f'(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升．
(Ⅱ)求证：
在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．
(Ⅲ)设数列
，求
在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．
(Ⅲ)设数列
，求
【正确答案】正确答案：(I)对
0＜x
1
＜x
2
＜+∞，在[x
1
，x
2
]上可用拉格朗日中值定理得，
ξ∈(x
1
，x
2
)∈(0，+∞)使得 f(x
2
)一f(x
1
)=f'(ξ)(x
2
一x
1
)＞0 => f(x
2
)＞f(x
1
) => f(x)在(0，+∞)↑． (Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=-
ln(n
x
+1)(x>0)，考察
=> g(x)在(0，+∞)↑=>f(x)=e
g(x)
在(0，+∞)↑． (Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对x
n
进行适当放大与缩小
即
由
因此
0＜x
1
＜x
2
＜+∞，在[x
1
，x
2
]上可用拉格朗日中值定理得，
ξ∈(x
1
，x
2
)∈(0，+∞)使得 f(x
2
)一f(x
1
)=f'(ξ)(x
2
一x
1
)＞0 => f(x
2
)＞f(x
1
) => f(x)在(0，+∞)↑． (Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=-
ln(n
x
+1)(x>0)，考察
=> g(x)在(0，+∞)↑=>f(x)=e
g(x)
在(0，+∞)↑． (Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对x
n
进行适当放大与缩小
即
由
因此
【答案解析】