解答题
6.设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。
【正确答案】二次型f的矩阵A=
。因为其标准形为λ1y12+λ2y22，所以
解得λ1=6，λ2=一3，λ3=0。
当λ=6时，6E—A=
，对应的一个特征向量为(一1，0，1)T；
当λ=一3时，一3E—A=
，对应的一个特征向量为(1，一1，1)T；
当λ=0时，0E—A=
，对应的一个特征向量为(1，2，1)T。
由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得
。因为其标准形为λ1y12+λ2y22，所以解得λ1=6，λ2=一3，λ3=0。
当λ=6时，6E—A=
，对应的一个特征向量为(一1，0，1)T；当λ=一3时，一3E—A=
，对应的一个特征向量为(1，一1，1)T；当λ=0时，0E—A=
，对应的一个特征向量为(1，2，1)T。由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得
【答案解析】