解答题
12.设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=
【正确答案】先用极坐标变换将二重积分转化为定积分
代入原方程得 f(t)=
(t≥0)．
两边对t求导得 f'(t)=
，即
f'(t)－8πtf(t)=8πt
． ①
在前一个方程中令t=0得 f(0)=1． ②
求f(t)转化为求解初值问题①+②．这是一阶线性方程，两边同乘
得
=8πt．
积分得
=4πt2+C．
由f(0)=1得C=1．因此f(t)=(4πt2+1)
代入原方程得 f(t)=
(t≥0)．两边对t求导得 f'(t)=
，即f'(t)－8πtf(t)=8πt
． ①在前一个方程中令t=0得 f(0)=1． ②
求f(t)转化为求解初值问题①+②．这是一阶线性方程，两边同乘
得=8πt．积分得
=4πt2+C．由f(0)=1得C=1．因此f(t)=(4πt2+1)
【答案解析】