解答题
设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．
【正确答案】
【答案解析】设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使(A+B)X=λX
(A+B)X=(a+b)X=λX-(a+b)X
[(A-aE)+(B-bE)X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，
λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X1，设A、B的最小特征值分别为λ1和μ1，则有
(A+B)X=(a+b)X=λX-(a+b)X[(A-aE)+(B-bE)X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X1，设A、B的最小特征值分别为λ1和μ1，则有