解答题
20.[2010年] 比较∫01｜lnt｜[ln(1+t)]ndt与∫01tn｜lnt｜dt(n=1，2，…)的大小，并说明理由．
【正确答案】先证：当0≤x≤1时，ln(1+x)≤x．
令g(x)=ln(1+x)一x，则当x≤x≤1时，g'(x)=1／(1+x)一1≤0，故g(x)≤g(0)=0，即ln(1+x)一x≤0，亦即ln(1+x)≤x．
先比较区间[0，1]上的被积函数．由0＜ln(1+t)＜t，t∈(0，1)得到
lnn(1+t)＜tn (t∈(0，1]，n=1，2，…)， ｜lnt｜lnn(1+t)＜tn｜lnt｜，t∈(0，1)．
又
令g(x)=ln(1+x)一x，则当x≤x≤1时，g'(x)=1／(1+x)一1≤0，故g(x)≤g(0)=0，即ln(1+x)一x≤0，亦即ln(1+x)≤x．
先比较区间[0，1]上的被积函数．由0＜ln(1+t)＜t，t∈(0，1)得到
lnn(1+t)＜tn (t∈(0，1]，n=1，2，…)， ｜lnt｜lnn(1+t)＜tn｜lnt｜，t∈(0，1)．
又
【答案解析】