解答题
设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
问答题
求f(x)；
【正确答案】
【答案解析】[解]由题知，存在二元函数u(x，y)，使
du=[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，
即
由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
du=[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，
即
由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有
问答题
求u(x，y)的一般表达式．
【正确答案】
【答案解析】由上小题可知，du=(xy2+y-ye-x)dx+(x-1+e-x+x2y)dy．求u(x，y)有多个方法．
法一 凑微分法．
所以
其中C为任意常数．
法二 偏积分法．由
于是
其中C1(y)为y的任意可微函数．再由
得
x2y+x+e-x+C'1(y)=x-1+e-x+x2y，
于是C'1(y)=-1，C1(y)=-y+C．于是
法一 凑微分法．
所以
其中C为任意常数．
法二 偏积分法．由
于是
其中C1(y)为y的任意可微函数．再由
得x2y+x+e-x+C'1(y)=x-1+e-x+x2y，
于是C'1(y)=-1，C1(y)=-y+C．于是