问答题
设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限
f(x)=B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对
f(x)=B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对
【正确答案】正确答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形． (Ⅰ)由
f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，
X
1
使得f(X
1
)＜μ． 由
X
2
＞X
1
使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知
ξ∈(X
1
，X
2
)
(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因
f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，
X
1
使得当x∈(一∞，X
1
)时f(x)有界；
f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，
X
1
使得f(X
1
)＜μ． 由
X
2
＞X
1
使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知
ξ∈(X
1
，X
2
)
(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因
f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，
X
1
使得当x∈(一∞，X
1
)时f(x)有界；
【答案解析】