问答题
设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2．
(Ⅰ)求A的全部特征值；
(Ⅱ)A是否可对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使p-1AP=A．
(Ⅰ)求A的全部特征值；
(Ⅱ)A是否可对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使p-1AP=A．
【正确答案】
【答案解析】[解析] (Ⅰ)由已知可得，A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，
A(α2-α1)=-(α2-α1)，A(α3-α1)=-(α3-α1)．
又因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，
所以2，-1是A的特征值，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1是相应的特征向量．
又由α1，α2，α2线性无关，可得α2-α1，α3-α1线性无关，所以-1是A的二重特征值，即A的全部特征值为2，-1．
(Ⅱ)由α1，α2，α3线性无关可证明α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵A可相似对角化．
令P=｜α1+α2+α2，α2-α1，α3-α1｜，则p-1AP=A=
A(α2-α1)=-(α2-α1)，A(α3-α1)=-(α3-α1)．
又因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，
所以2，-1是A的特征值，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1是相应的特征向量．
又由α1，α2，α2线性无关，可得α2-α1，α3-α1线性无关，所以-1是A的二重特征值，即A的全部特征值为2，-1．
(Ⅱ)由α1，α2，α3线性无关可证明α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵A可相似对角化．
令P=｜α1+α2+α2，α2-α1，α3-α1｜，则p-1AP=A=