问答题
设随机变量X
1
与X
2
相互独立，且X
1
-N(0，1)，X
2
服从
的指数分布，试求：
(Ⅰ)
的指数分布，试求：
(Ⅰ)
【正确答案】
【答案解析】[解] 依题意X
1
与X
2
的概率密度分别为
(Ⅰ)
的分布函数记为F
x
(x)，则
当x＞0时，
，从而
于是X的概率密度为
(Ⅱ)由于X 1 与X 2 独立，故
(即X)与X
2
也独立，根据独立随机变量之和的卷积公式
由于只有当x＞0且y-x＞0即0＜x＜y时，被积函数才不为0，因此
于是y的概率密度为
(Ⅲ) 方法1° 因X 1 ～N(0，1)，故EX 1 =0，DX 1 =1，
；又X
2
服从参数
的指数分布，故
．于是
又
由于
与X
2
独立，而独立随机变量之和的方差等于其方差的和，故
方法2°
故DY=Ey 2 -(EY) 2 =15-9=6．
(Ⅰ)
的分布函数记为F
x
(x)，则
当x＞0时，
，从而
于是X的概率密度为
(Ⅱ)由于X 1 与X 2 独立，故
(即X)与X
2
也独立，根据独立随机变量之和的卷积公式
由于只有当x＞0且y-x＞0即0＜x＜y时，被积函数才不为0，因此
于是y的概率密度为
(Ⅲ) 方法1° 因X 1 ～N(0，1)，故EX 1 =0，DX 1 =1，
；又X
2
服从参数
的指数分布，故
．于是
又
由于
与X
2
独立，而独立随机变量之和的方差等于其方差的和，故
方法2°
故DY=Ey 2 -(EY) 2 =15-9=6．