解答题
3.(02年)设D1是由抛物线y＝2χ2和直线χ＝a，χ＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2χ2和直线y＝0，χ＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．
(1)试求D1绕χ轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；
(2)问当a为何值时，V1＋2取得最大值?试求此最大值．
(1)试求D1绕χ轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；
(2)问当a为何值时，V1＋2取得最大值?试求此最大值．
【正确答案】(1)根据条件作图2．8，则
V1＝π∫a2(2χ2)2dχ＝
(32－a5)
V2＝πa2.2a2－
＝2πa4－πa4＝πa4．
(2)设V＝V1＋V2＝
(32－a5)＋πa4
由V′＝4πa3(1－a)＝0
得区间(0，2)内的唯一驻点a＝1．
当0＜a＜1时，V′＞0；当a＞1时，V′＜0．因此a＝1是极大值点即最大值点．
此时V1＋V2取得最大值，等于
V1＝π∫a2(2χ2)2dχ＝
(32－a5)V2＝πa2.2a2－
＝2πa4－πa4＝πa4．(2)设V＝V1＋V2＝
(32－a5)＋πa4由V′＝4πa3(1－a)＝0
得区间(0，2)内的唯一驻点a＝1．
当0＜a＜1时，V′＞0；当a＞1时，V′＜0．因此a＝1是极大值点即最大值点．
此时V1＋V2取得最大值，等于
【答案解析】