问答题
设
问答题
求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
【正确答案】对手方程组Ax=ξ1，由增广矩阵(A|ξ1)作初等行变换，有
[*]
令x2=t得x3=1-2t，x1=-t．
所以 ξ2=(-t，t，1-2t)T，t为任意常数．
又[*]，对于方程组A2x=ξ1，由增广矩阵(A2|ξ1)作初等行变换，有
[*]
令 x2=u，x3=v，得 [*]
所以 [*]，u，v为任意常数．
[*]
令x2=t得x3=1-2t，x1=-t．
所以 ξ2=(-t，t，1-2t)T，t为任意常数．
又[*]，对于方程组A2x=ξ1，由增广矩阵(A2|ξ1)作初等行变换，有
[*]
令 x2=u，x3=v，得 [*]
所以 [*]，u，v为任意常数．
【答案解析】
问答题
中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
【正确答案】知
[*]
所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
(2)中关于ξ1，ξ2，ξ3线性无关的证明也可用定义法．
由题设可知Aξ1=0．如果
k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0 (1)
用A左乘(1)式两端，并把Aξ1=0代入，有
k2Aξ2+k3Aξ3=0
即 k2ξ1+k3Aξ3-0 (2)
用A左乘(2)式两端，有
k3A2ξ3=0
即 k3ξ1=0．
由于ξ1≠0，故k3=0．代入(2)可得k2=0．把k2=0，k3=0代入(1)式，可得k1=0．从而ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
[*]
所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
(2)中关于ξ1，ξ2，ξ3线性无关的证明也可用定义法．
由题设可知Aξ1=0．如果
k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0 (1)
用A左乘(1)式两端，并把Aξ1=0代入，有
k2Aξ2+k3Aξ3=0
即 k2ξ1+k3Aξ3-0 (2)
用A左乘(2)式两端，有
k3A2ξ3=0
即 k3ξ1=0．
由于ξ1≠0，故k3=0．代入(2)可得k2=0．把k2=0，k3=0代入(1)式，可得k1=0．从而ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
【答案解析】