求下列微分方程的通解或特解：
(Ⅰ)
－4y=4x
2
，y(0)=
，y′(0)=2．
(Ⅱ)
－4y=4x
2
，y(0)=
，y′(0)=2．
(Ⅱ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ
2
—4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解 y
*
=ax
2
+bx+c，代入方程得 2a一4(ax
2
+bx+c)=4x
2
．
因此得特解 y=
(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ
2
+3λ+2=0，特征根λ
1
=－1，λ
2
=－2．由于非齐次项是 e
－x
cosx，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y
*
=e
－x
(acosx+bsinx)． 代入原方程比较等式两端e
－x
cosx与e
－x
sinx的系数，可确定出a=－
，所以非齐次方程的通解 为 y=C
1
e
－x
+C
2
e
－2x
+
因此得特解 y=
(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ
2
+3λ+2=0，特征根λ
1
=－1，λ
2
=－2．由于非齐次项是 e
－x
cosx，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y
*
=e
－x
(acosx+bsinx)． 代入原方程比较等式两端e
－x
cosx与e
－x
sinx的系数，可确定出a=－
，所以非齐次方程的通解 为 y=C
1
e
－x
+C
2
e
－2x
+
【答案解析】