解答题
14.已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组ax=β的通解．
【正确答案】【解法1】 由α2，α3，α4线性无关和α1=2α2－α3知矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量．
由α1－2α2+α3+0α4=0得
即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为
再由
知
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是ax=β的通解为
【解法2】令
则由
得
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4·
将α1=2α2－α3代入上式，整理后得
(2x1+x2－3)α2+(－x1+x3)α3+(x4－1)α4=0．
由α1，α3，α4线性无关，知
解此方程组得
由α1－2α2+α3+0α4=0得
即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为再由知
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是ax=β的通解为【解法2】令
则由得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4·
将α1=2α2－α3代入上式，整理后得
(2x1+x2－3)α2+(－x1+x3)α3+(x4－1)α4=0．
由α1，α3，α4线性无关，知
解此方程组得
【答案解析】