解答题设n阶矩阵A的秩为1，证明：

问答题 A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；

【正确答案】

【答案解析】【证】将A以列分块，则r(A)=r(α₁，α₂，…，α_n)=1表明列向量组α₁，α₂，…，α_n的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为α_i=[a₁，a₂，…，a_n]^T(α_i≠0)，其余列向量均可由α_i线性表出，设为α_j=b_jα_i，(j=1，2，…，n；j=i时，取b_i=1)，则

问答题存在数μ，对任意正整数k，有A^k=μ^k-1A．

【正确答案】

【答案解析】【证】记α=α_i=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T，则
A=αβ^T，A^k=(αβ^T)^k=(αβ^T)(αβ^T)…(αβ^T)=α(β^Tα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T记β^Tα=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=μ，则
A^k=αμ^k-1β^T=μ^k-1A．