问答题
求下列三重积分：
(Ⅰ)I=
，其中Ω是球体x
2
+y
2
+z
2
≤R
2
(h＞R)；
(Ⅱ)I=
，其中Ω：1≤x+y≤2，x≥0，y≥0，0≤z≤3；
(Ⅲ)I=
(x
3
+y
3
+z
3
)dV，其中Ω由半球面x
2
+y
2
+z
2
=2z(z≥1)与锥面z=
，其中Ω是球体x
2
+y
2
+z
2
≤R
2
(h＞R)；
(Ⅱ)I=
，其中Ω：1≤x+y≤2，x≥0，y≥0，0≤z≤3；
(Ⅲ)I=
(x
3
+y
3
+z
3
)dV，其中Ω由半球面x
2
+y
2
+z
2
=2z(z≥1)与锥面z=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)积分区域Ω是球体，也是旋转体，结合被积函数特点，还是选用柱坐标变换，并选用先r，z的积分顺序．极角为θ的半平面交Ω得平面区域D(θ)为已知(图9．58)，于是
(Ⅱ)Ω可表示成：Ω：0≤z≤3，(x，y)∈D
xy
，其中D
xy
={(x，y)｜x≥0，y≥0，1≤x+y≤2}，D
xy
如图9．59．于是I=
dxdy． 这里先x后y和先y后x的积分顺序均不可行．作极坐标变换，则D
xy
的极坐标表示为
(Ⅲ)首先由对称性及奇偶性得I=
z
3
dV． Ω由半球面及锥面围成．用球坐标变换方便，此时Ω表示为： 0≤θ≤2π，0≤φ≤
，0≤ρ≤2cosφ， 则 I=∫
0
π
dθ
dφ∫
0
2cosφ
ρ
3
cos
3
φ．ρ
2
sinφdρ
(Ⅱ)Ω可表示成：Ω：0≤z≤3，(x，y)∈D
xy
，其中D
xy
={(x，y)｜x≥0，y≥0，1≤x+y≤2}，D
xy
如图9．59．于是I=
dxdy． 这里先x后y和先y后x的积分顺序均不可行．作极坐标变换，则D
xy
的极坐标表示为
(Ⅲ)首先由对称性及奇偶性得I=
z
3
dV． Ω由半球面及锥面围成．用球坐标变换方便，此时Ω表示为： 0≤θ≤2π，0≤φ≤
，0≤ρ≤2cosφ， 则 I=∫
0
π
dθ
dφ∫
0
2cosφ
ρ
3
cos
3
φ．ρ
2
sinφdρ
【答案解析】