问答题
A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价： (1)(A一aE)(A一bE)=0． (2)r(A一aE)+r(A一bE)=n． (3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0．
【正确答案】正确答案：不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A=bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A=aE．) (1)
(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A一aE)(A一bE)=0．得到： r(A一aE)+r(A一bE)≤n， r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n， 从而r(A一aE)+r(A一bE)=n． (2)
(3) 记k
a
，k
b
分别是a，b的重数，则有 k
a
≥n—r(A一aE) ① k
b
≥n—r(A一bE) ③ 两式相加得n≥k
a
+k
b
≥n一r(A一aE)+n一r(A一bE)=n，于是其中“≥”都为“=”，从而①和②都是等式，并且k
a
+k
b
=n． k
a
+k
b
=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ一a)(λ一b)=0． ①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵． (3)
(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A一aE)(A一bE)=0．得到： r(A一aE)+r(A一bE)≤n， r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n， 从而r(A一aE)+r(A一bE)=n． (2)
(3) 记k
a
，k
b
分别是a，b的重数，则有 k
a
≥n—r(A一aE) ① k
b
≥n—r(A一bE) ③ 两式相加得n≥k
a
+k
b
≥n一r(A一aE)+n一r(A一bE)=n，于是其中“≥”都为“=”，从而①和②都是等式，并且k
a
+k
b
=n． k
a
+k
b
=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ一a)(λ一b)=0． ①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵． (3)
【答案解析】